Il Paradosso di Banach-Tarski: raddoppiare una sfera solida?

Questo incredibile risultato, dimostrato nel 1924 dai matematici Stefan Banach e Alfred Tarski, è profondamente controintuitivo perché contraddice la nostra esperienza fisica di conservazione del volume. La 'scomposizione' non è però quella a cui siamo abituati nel mondo reale: i pezzi sono insiemi non misurabili in senso lebesgueiano e hanno una struttura così complessa da essere irrealizzabili fisicamente. Il paradosso è una conseguenza diretta dell'Assioma della Scelta, un principio fondamentale della teoria degli insiemi, che permette di costruire insiemi 'strani' senza dover specificare come sceglierne gli elementi. Sebbene non si possa usare per creare oro dal nulla, evidenzia le differenze tra la matematica astratta e il mondo fisico.